Siempre tendemos a relacionar lo negativo con lo oscuro, quizá porque aún recordamos los momentos de temor de nuestra niñez cuando en la oscuridad, al no ver, entrábamos en pánico al no poder encontrar a aquellos que nos daban seguridad.
¿Por qué nuestros alumnos tienen tantos problemas al enfrentarse a la realidad de operar con aquellos números negativos?
¿Qué es lo que hacemos y permitimos en ellos que los lleva directo al fracaso cuando se trata de enfrentar operaciones con estos números?
En estos pocos años que llevo en el aula, me he dado cuenta que los alumnos prefieren lo fácil, y si hay un truco que puedan utilizar que les facilite el problema están dispuestos a desechar el conocimiento integral de esta clase de números por una lista de fórmulas aprendidas, pero que realmente no han pasado por sus cerebros.
¿Qué profesor de matemáticas, qué alumno de octavo grado no ha escuchado, "más por más", o "menos por más"?
Las razones de esto, ... no opino mejor...
Me he basado para este texto en el libro
”Mathematics for elementary teachers”
Gary L. Musser.
William F. Burger.
Fourth Edition.
El conjunto de los número enteros:
Definición:
Números enteros:
El conjunto de los números enteros se compone por el conjunto de los números enteros positivos (IN), el cero, y los enteros negativos.
, donde el cero no es entero positivo, ni negativo.
Orden, Adición y sustracción:
Podemos representar los números negativos con fichas de color rojo y a los positivos con fichas de color negro.
Consideremos además que cada una de las fichas rojas se cancela con una de las fichas negras.
Cada número podría tener distintas representaciones desde este punto de vista; es más podríamos decir que existe un número infinito de representaciones.
Por ejemplo, el número -3.
ORDEN.
Podemos también representar los números enteros en una recta numérica donde el cero se encuentra en el centro.Y la distancia entre un número entero y el que le sigue o el anterior es siempre la misma. Podemos decir también que la distancia entre un entero y el cero comparada con la de su opuesto al cero es siempre la misma, además la distancia entre un entero y su opuesto es......
Además el opuesto de un número entero n, es el número entero (–n); si n es rojo (–n) es negro y si n es negro (–n) será rojo.
En otras palabras, el opuesto a un positivo es un negativo y el opuesto a un negativo es un positivo, y el opuesto a cero es cero.
- ( 4 ) = - 4.
Adición.
Analiza:por medio de este método de fichas de colores posibilidades en que
1) Tengas igual número de fichas de cada color.
2) Tengas mayor número de fichas negras.
3) Tengas mayor número de fichas rojas.
4) Desarrolla tres ejemplos de cada uno comenta y concluye para cada caso por separado.
5) ¿Podremos generalizar, y crear una regla?
Propiedad:
La adición es cerrada en el conjunto de los números enteros.
La adición es agregar fichas.
La sustracción es quitar fichas de color negro si el número que resto es positivo y quitaré fichas rojas si es que es negativo el número que estoy restando.
Dados tres números enteros a, b, c.
1) Elemento neutro aditivo:
Existe el número entero 0, llamado “neutro aditivo”, tal que cualquiera sea el número entero “a”, se tiene: a + 0 = 0 + a = a
2) Adición de dos números positivos:Si a y b son enteros positivos, la suma de ellos también es un entero positivo.
3) Adición de dos enteros negativos.Si a y b son enteros negativos, la suma de ellos también es un entero negativo.
4) Adición de un número entero positivo con un entero negativo.
En este caso, tus números son a (entero positivo) y b (entero negativo).
Puedes decir que si c = - b, entonces c es un número positivo y – c es un número negativo.
Se tiene que: a + b = a + (-c).
Estudia los casos en que: a > - c, a < - c, a = -c.
"Evitemos pensar que cuando escribimos enteros negativos, siempre les asignen el signo menos; “
" - b es el opuesto de b, no necesariamente un número negativo”
Formalicemos un poco:
El entero –a se llama inverso aditivo de a, es el opuesto de a (recuerda la recta numérica, figura 4).
Mundialmente el número 0 es el neutro aditivo. Observe que no siempre el número –b es un número negativo.
Discútalo en grupos y determine si esta afirmación es verdadera o falsa.
¿Qué significa – (- b), será siempre positivo, de qué depende?
Sustracción: La sustracción de enteros puede ser vista de varias maneras: La primera columna es número 4 –3 = 1 , la segunda disminuye uno a uno
Observando la tabla, si el minuendo (1ª columna) se mantiene constante (4), y el sustraendo (2ª columna) disminuye en 1, ¿qué ocurre con la diferencia?
De acuerdo a esto, completen la tabla y enuncien una regla.
Calcula:
a) 6 – 2 =
b) -4 – (-1) =
c) -2 – (-3) =
d) 2 – 5 =
Para regresar a las fichas, recordemos que “restar” se identifica con el concepto de “quitar”, lo cual puede hacerse con las fichas.
Trabajemos esto con las fichas.
Formalicemos:
Sustracción de entero.
Sean a y b números enteros cualquiera, se tiene: a – b = a + (-b)
El considerar la diferencia de dos números como una suma de un número con el opuesto de otro, puede facilitar algunos ejemplos.
El opuesto del opuesto de un número es el mismo número.
(Busque una forma de explicarlo, demuéstrelo con las fichas, explíquelo,…)
Ejemplos:
a) (-8) – 3 = (- 8) + (-3 ) = -11
(diferencia entre un número negativo y uno positivo, se puede considerar, adición de dos números negativos; a saber, el minuendo y el opuesto del sustraendo.)
b) 4 – (-5) = 4 + (-(-5)) = 4 + 5 = 9 (Diferencia entre un número positivo y uno negativo, podemos considerarlo adición de dos números positivos, , el minuendo y el opuesto del sustraendo )
Crea tus propios ejemplos para diferencia:
· entre dos números positivos, qué pasa si el minuendo es mayor, qué pasa si el sustraendo es mayor,
· entre dos números negativos, qué pasa si el minuendo es mayor, qué pasa si el sustraendo es mayor. (mayor o de mayor valor absoluto)
Multiplicación:
La multiplicación con números enteros, es de la misma forma, guarda el mismo proceso que la multiplicación de números naturales.
Recordemos. y entendamos por medio de la adición.
En las tablas de multiplicar decimos, por ejemplo: 3 por 1, 3 por 2, 3 por 3, 3 por 4, etc., entendiendo que esto significa 1 vez 3, 2 veces 3, 3 veces3, 4 veces 3, etc.
Para nosotros, 3 · 4 significa 3 + 3 + 3 + 3 = 12
En ese sentido, (-4) + (-4) + (-4) = (-4) por 3 = (-4) · 3.
En inglés o alemán, la presentación habitual es al reves, pues la tabla se dice: 1 vez 3, 2 veces 3, 3 veces 3, etc. Ahora bien:¿Qué podemos decir de 4 · -3...?
Queremos que la multiplicación en Z tenga las mismas propiedades que tiene en IN0
Notar que en la tabla el multiplicando se mantiene, y el multiplicador va disminuyendo en 1
Multiplicando
Multiplicador
Producto
Variación del producto, respecto a la fila anterior
o al finalPropiedades de la multiplicación de enteros. Sean a y b números enteros cualesquiera. (éste es el plural de cualquiera).
Clausura.
a · b es un número entero.
Multiplicación por cero.
a * O = O
Conmutatividad:
a * b = b * a
Asociatividad:
( a * b ) * c = a * ( b * c )
Distributividad:
a * ( b + c ) = a * b + a * c
Elemento neutro multiplicativo
a * 1 = 1 * a = a
Teorema 1:
Dado un número entero positivo a.
Recordemos que a * 1 = a
- a = ( -1 ) * a Inverso aditivo de a.
Teorema 2:
Dados a y b números enteros.
Teorema 3:
Ahora bien:
¿Qué podemos decir de 4 · -3 …? ¿Cómo se efectuaría esta multiplicación, es necesario…?
La división la dejo para otro día, trabajen.
